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タイル並べとフィボナッチ数列の関係

タイル並べとフィボナッチ数列の関係
3cm+1cm
㋓ 、㋔
というように分類できました。

フィボナッチ数列とは? 問題に隠れた規則性に気づけるようにしよう

中学入試では、並べられた数字から規則性を見つけ出す問題がよく出題されます。数列で有名なものといえば、等差数列、等比数列、階差数列などですが、ひときわ目立つ名前の数列があります。それがフィボナッチ数列です。名前からして異彩を放っていますが、その性質も神秘に満ちたもので、魅了されてしまった科学者も多くいるほどです。今回は中学受験に向けてフィボナッチ数列にどう対処すべきかを、例題を交えながら解説します。

フィボナッチ数列とは?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……

まずは規則性を理解する

差を計算すると、フィボナッチ数列らしき数字が出てきました。フィボナッチ数列は、直前の2つの項の数を足したものが次の項の数になる数列です。そのためこのような結果になるんですね。規則自体はとてもシンプルです。一度でもフィボナッチ数列を見たことがあれば、規則性はすぐに理解できるでしょう。

自分で書いてみると簡単さがわかる

「場合の数の問題」にフィボナッチ数列が現れる

【例題1】 階段の登り方は何通り?

4段目までの登り方は、「2段目まで登ってから4段目に到達する2通り」と「3段目まで登ってから4段目に到達する3通り」があるので、合計5通りです。つまり、4段目までの登り方の「場合の数(5通り)」は、2段目までの登り方の「場合の数(2通り)」と、3段目までの登り方の「場合の数(3通り)」の合計になるのです。まさにフィボナッチ数列のような関係になっています。

6段目までの登り方であれば、図を描いて場合分けをしていけば力わざで解けてしまう場合もあります。しかし、15段目までの登り方を答えさせる問題があったらどうでしょうか? 答えは、なんと987通り! フィボナッチ数列であることに気づいていないと、とうてい解くことはできませんね。

【例題2】 タイルの並べ方は何通り?

このとき、「縦2cm×横4cm」の並べ方の「5通り」は、「縦2cm×横2cm」に並べた場合の「2通り」と、「縦2cm×横3cm」に並べた場合の「3通り」を合計したものと同じです。またしても、フィボナッチ数列が見えてきました。

タイル並べとフィボナッチ数列の関係

R. S.講師の記事

こんにちは、受験ドクターのRS講師です。
今年の夏はホントに無慈悲な暑さでまいりました。
これってやっぱり温暖化のせいなのか?と思ったりもしますが、ホントに二酸化炭素が犯人なのかについては、実はまだ諸説あり、否定的な意見をもつ学者も沢山いるそうです。
まあ、世の中が温暖化とビジネスが結びついてしまったところから、犯人が二酸化炭素であってくれる方が都合がいい人が沢山いるというのは間違いないようです・・・
しかしながら地球環境がおかしくなってきているのは間違いない事実。
われわれ庶民ができることは限られていますが、環境に負荷をかけずになんとか人類が継続していける方法を模索していくしかありません・・・。

ここのところ、初心者用の入門シリーズがつづいているので、今日はすこし上級者向け。
「タイル並べ」のお話をしたいと思います。
タイル並べとフィボナッチ数列の関係、どこかの問題で触れたことがある人が多いかも知れません。
ただ、これがなぜフィボナッチ数列になるのかをきちんと説明できる生徒が意外に少ない。
今回は、その辺りの「なぜ」ということもきちんと解説し、さらに少し応用的な問題へ発展させた考え方もご紹介しましょう。

さて、答えは(1)から順に2通り、3通り、5通り、8通りとなります。
フィボナッチ数列ですね。(1)は当然書き出せるとして、(2)は3つ書けば終わりですから、これも簡単。
(3)は少し難しいですがこれも5つ(下図)ともしっかり書き出してしまって、2通り,3通り,5通り・・・あフィボナッチね。じゃあ(4)は8通り!

算数タイル並べ3

……いやいや、ちょっとまてーい!٩(๑òωó๑)۶
こんな乱暴な理解の仕方では、すこし改変されて出題されると全く解らなくなってしまいますよ!
確かに2、3、5…と来た段階でフィボナッチ数列の可能性は濃厚ですが、もしかしたら差が1、2、3…という階差が等差数列になっているのかもしれません。
(3)を解くにあたっては、これまでの並べ方が、次の並べ方にどう影響するのか?ということについてしっかり検証してみましょう。

算数タイル並べ4

算数タイル並べ5

算数タイル並べ6

算数タイル並べ7

ってあれ?書き出したときは 5通り だったので、おかしいですね。答えが一致しません。
上の考え方は何がマズイのでしょうか?

算数タイル並べ8

結局、付け足す2㎝の部分を、 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 としてしまうと、1㎝付け足しのタイルは縦向き しかないので、必ずダブってしまうことになります。2㎝を付け足すのは、 のパターンだけにしないといけないのです。

つまり2㎝+2㎝付け足しパターンは前半2㎝の部分 と のどちらかに、後ろの2㎝ を付け加えたものになるので、2通りとなるわけです。

算数タイル並べ13

(4)ここまでがしっかり解れば、次も問題ないですね。5㎝は、
ア:3㎝+2㎝、イ:4㎝+1㎝ですので、
アのパターンは
以上の3通り、
イのパターンが先ほどの4㎝のときの並べ方に を付け加えるだけなので、5通りです。

さて、では全部解説するのは次回にするとして、最初はすこし一緒に考えてみましょう。
まず、(1)は の2通りは大丈夫ですね。

算数タイル並べ17

2㎝+2㎝という足し算もできますから、 もあります。
ですが、3㎝+1㎝は、 も考えられますが、2㎝+2㎝と区別が出来ません。どうやらこのへんに気を付けなければいけないポイントがありそうです。

さあ、問題は(3)です。
(2)をベースにして、(3)を考えることが出来なければ(4)は解けません。
先ほどの問題と同じように、何㎝+何㎝で作るかを考えましょう。
4㎝+1㎝、3㎝+2㎝、2㎝+3㎝の3つの足し算がありそうですが・・・

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